Gaussian en Parabola om LED -ligstrome van 'n eksperimentele lamp te bestudeer: 6 stappe

2024 Outeur: John Day | [email protected]. Laas verander: 2024-01-30 07:23

Hallo aan alle makers en aan die bruisende gemeenskap van Instructable.

Hierdie keer bied Merenel Research u 'n suiwer navorsingsprobleem en 'n manier om dit met wiskunde op te los.

Ek het self hierdie probleem gehad terwyl ek die LED -strome van 'n RGB LED -lamp wat ek gebou het, bereken het (en wat ek sal leer hoe om dit te bou). Nadat ek baie aanlyn gekyk het, het ek geen antwoord gevind nie, so ek plaas die oplossing hier.

DIE PROBLEEM

In die fisika moet ons baie keer met krommes te doen kry wat die vorm van die Gauss -verspreiding het. Ja! Dit is die klokvormige kromme wat gebruik word om waarskynlikheid te bereken en is deur die groot wiskundige Gauss aan ons gebring.

Die Gauss -kromme word wyd gebruik in fisiese toepassings in die werklike lewe, veral as ons te doen het met bestraling wat uit 'n bron versprei word of van 'n ontvanger ontvang word, byvoorbeeld:

- die uitstraling van die krag van 'n radiosein (byvoorbeeld die Wi-Fi);

- die ligstroom van 'n LED;

- die lees van 'n fotodiode.

In die datablad van die vervaardiger kry ons dikwels die werklike waarde van die oppervlakte van die Gaussiaan, wat die totale stralingsvermoë of ligstroom in 'n sekere deel van die spektrum (bv. 'N LED) is, maar dit word moeilik om die werklike straling te bereken uitgestraal op die hoogtepunt van die kromme of selfs moeiliker om die oorvleuelende straling van twee nabye bronne te ken, byvoorbeeld as ons met meer as 'n LED verlig (bv. Blou en Groen).

In hierdie instruksionele artikel sal ek u verduidelik hoe u die Gaussiaan kan benader met 'n kromme wat makliker is om te begryp: 'n parabool. Ek sal die vraag beantwoord: hoeveel Gauss -krommes is daar in 'n parabool?

SPOILER → DIE ANTWOORD IS:

Die Gaussiese gebied is altyd 1 eenheid.

Die oppervlakte van die ooreenstemmende parabool met dieselfde basis en hoogte is 2,13 keer groter as die relatiewe Gaussiese gebied (sien die prentjie vir die grafiese demonstrasie).

'N Gaussiaan is dus 46,94% van sy parabel, en hierdie verhouding is altyd waar.

Hierdie twee getalle hou op hierdie manier verband met 0.46948 = 1/2.13, dit is die streng wiskundige verband tussen 'n Gauss -kromme en sy parabool en omgekeerd.

In hierdie gids lei ek u om hierdie stap vir stap te ontdek.

Die enigste instrument wat ons nodig het, is Geogebra.org, 'n uitstekende aanlyn wiskundige hulpmiddel om kaarte te teken.

Die Geogebra -grafiek wat ek gemaak het om 'n parabool met 'n Gaussiaan te vergelyk, kan op hierdie skakel gevind word.

Hierdie instruksie is lank, want dit handel oor 'n demonstrasie, maar as u dieselfde probleem vinnig as met LED -ligstrome of 'n ander verskynsel met oorvleuelende Gauss -krommes moet oplos, spring dan net na die sigblad wat u by die stap vind 5 van hierdie gids, wat u lewe makliker sal maak en al die berekeninge outomaties vir u kan maak.

Ek hoop dat u van toegepaste wiskunde hou, want hierdie instruksies handel daaroor.

Stap 1: Verstaan die lig wat uitgestraal word deur 'n monochromatiese LED

In hierdie analise sal ek 'n reeks gekleurde LED's oorweeg, soos u duidelik uit hul spektrumgrafiek (eerste prentjie) kan sien, lyk hul spektrale kragverdeling regtig soos 'n Gaussiaan wat konvergeer in die x -as by -33 en +33nm van die gemiddelde (vervaardigers gee gewoonlik hierdie spesifikasie). Hou egter in gedagte dat die voorstelling van hierdie grafiek al die spektra op 'n enkele krageenheid normaliseer, maar LED's het verskillende krag na gelang van hoe doeltreffend vervaardig word en hoeveel elektriese stroom (mA) u daarin voer.

Soos u soms kan sien, oorvleuel die ligstroom van twee LED's op die spektrum. Kom ons sê dat ek maklik die oorvleuelende oppervlakte van die krommes wil bereken, want in daardie gebied sal daar die dubbele hoeveelheid krag wees en ek wil weet hoeveel krag in lumen (lm) ons daar het, wel dit is nie 'n maklike taak wat ons in hierdie gids sal probeer beantwoord. Die probleem het ontstaan omdat ek by die bou van die eksperimentele lamp regtig wou weet hoeveel die blou en groen spektrum oorvleuel.

Ons fokus slegs op monochromatiese LED's, dit is dié wat in 'n smal gedeelte van die spektrum uitstraal. In die grafiek: ROYAL BLUE, BLUE, GROEN, ORANJE-ROOI, ROOI. (Die werklike lamp wat ek bou, is RGB)

FISIKA AGTERGROND

Laat ons 'n bietjie terugspoel en eers 'n bietjie fisika -verduideliking doen.

Elke LED het 'n kleur, of meer wetenskaplik sou ons sê dat dit 'n golflengte (λ) het wat dit bepaal en wat gemeet word in nanometer (nm) en λ = 1/f, waar f die frekwensie van die ossillasie van die foton is.

Wat ons dus ROOI noem, is basies 'n (groot) klomp fotone wat teen 630 nm ossilleer, daardie fotone tref die saak en wip in ons oë, wat as reseptore optree, en dan verwerk u brein die kleur van die voorwerp as ROOI; of die fotone kan direk in u oë ingaan, en u sal die LED sien wat hulle in ROOI laat uitstraal.

Daar is ontdek dat wat ons lig noem eintlik maar 'n klein gedeelte van die elektromagnetiese spektrum is, tussen 380nm en 740nm; dus is lig 'n elektromagnetiese golf. Wat nuuskierig is oor die gedeelte van die spektrum, is dat dit juis die deel van die spektrum is wat makliker deur water gaan. Raai wat? Ons ou voorvaders uit die Oorsop was eintlik in water, en dit was in die water waar die eerste, meer komplekse, lewende wesens oë begin ontwikkel het. Ek stel voor dat u na die video van Kurzgesagt kyk wat ek aangeheg het om beter te verstaan wat lig is.

Om op te som, gee 'n LED lig uit, wat 'n sekere hoeveelheid radiometriese krag (mW) by 'n sekere golflengte (nm) is.

Gewoonlik, as ons met sigbare lig te doen het, praat ons nie van radiometriese krag (mW) nie, maar van ligstroom (lm), wat 'n maateenheid is wat weeg by die reaksie op sigbare lig in die oë van mense. candela meeteenheid, en dit word gemeet in lumen (lm). In hierdie aanbieding kyk ons na die lumen wat uitgestraal word uit LED's, maar alles is presies in dieselfde mate van toepassing op mW.

In enige LED -datablad gee die vervaardiger u hierdie stukkies inligting:

Byvoorbeeld, uit hierdie aangehegte datablad sien u dat as u beide LED met 100mA voed, u die volgende het:

BLOU is op 480nm en het 11lm ligstroom;

GROEN is op 530nm en het 35lm ligstroom.

Dit beteken dat die Gaussiaanse kurwe van blou langer sal wees, dat dit meer sal toeneem, sonder om in die breedte te verander, en dat dit sal ossilleer rondom die gedeelte wat deur die blou lyn afgebaken word. In hierdie vraestel sal ek verduidelik hoe om die hoogte van die Gaussiaan te bereken wat die volle piekvermogen van die LED uitdruk, nie net die krag wat in die gedeelte van die spektrum uitgestraal word nie, ongelukkig sal die waarde laer wees. Verder sal ek probeer om die oorvleuelende deel van die twee LED's te benader om te verstaan hoeveel ligstroom oorvleuel word as ons te doen het met LED's wat "bure" in die spektrum is.

Die meting van LED's is 'n baie komplekse saak; as u meer wil weet, het ek 'n gedetailleerde artikel van Osram opgelaai wat verduidelik hoe dinge gedoen word.

Stap 2: Inleiding tot die parabool

Ek gaan nie veel in op besonderhede oor wat 'n parabool is nie, aangesien dit breedvoerig op skool bestudeer word.

'N Vergelyking van 'n parabool kan in die volgende vorm geskryf word:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES HELP ONS

Wat ek graag wil onderstreep, is 'n belangrike geometriese stelling van Archimedes. Wat die stelling sê, is dat die oppervlakte van 'n parabool wat in 'n reghoek beperk is, gelyk is aan die 2/3 van die reghoekoppervlak. Op die eerste prentjie met die parabool kan jy sien dat die blou gebied 2/3 is en die pienk gebiede 1/3 van die oppervlakte van die reghoek.

Ons kan die parabel en die vergelyking daarvan bereken deur drie punte van die parabool te ken. In ons geval sal ons die hoekpunt bereken en die snypunte met die x -as ken.

BLOU LED Vertex (480,?) Die Y van die hoekpunt is gelyk aan die ligkrag wat by die piekgolflengte uitgestraal word. Om dit te bereken, gebruik ons die verband wat bestaan tussen die oppervlakte van 'n Gaussiaan (werklike vloed wat deur die LED uitgestraal word) en die van 'n parabool, en ons sal die stelling van Archimedes gebruik om die hoogte van die reghoek wat die parabool bevat, te ken.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLIESE MODEL

As ek na die prentjie kyk wat ek opgelaai het, kan u 'n komplekse model sien wat met parabolas verskillende LED -ligstrome voorstel, maar ons weet dat hul voorstelling nie presies so is nie, aangesien dit meer soos 'n Gaussiaan lyk.

Met parabolas, met behulp van wiskundige formules, kan ons egter al die snypunte van verskeie parabolas vind en die snyareas bereken.

In stap 5 het ek 'n sigblad aangeheg waarin ek al die formules geplaas het om al die parabolas en hul snyareas van die monochromatiese LED's te bereken.

Gewoonlik is die basis van die Gaussiaan van 'n LED 66nm groot, dus as ons die dominante golflengte ken en ons die LED-straling met 'n parabel benader, weet ons dat die relatiewe parabool die x-as in λ+33 en λ-33 sal sny.

Dit is 'n model wat 'n totale LED -uitstraling met parabool benader. Maar ons weet dat as ons presies wil wees, dit nie presies reg is nie, ons 'n Gauss -kromme moet gebruik, wat ons by die volgende stap bring.

Stap 3: Inleiding tot die Gaussiese kromme

'N Gaussiaan, dit is 'n kromme wat meer kompleks sal klink as 'n parabool. Dit is deur Gauss uitgevind om foute te interpreteer. In werklikheid is hierdie kromme baie nuttig om die waarskynlikheidsverdeling van 'n verskynsel te sien. So ver as wat ons na links of regs beweeg, het ons 'n sekere verskynsel wat minder gereeld voorkom, en soos u uit die laaste prentjie kan sien, is hierdie kromme 'n baie goeie benadering van die werklike gebeurtenisse.

Die Gaussiese formule is die eng wat u as 'n tweede prentjie sien.

Die Gaussiese eienskappe is:

- dit is simmetriese respek vir die gemiddelde;

- x = μ val nie net saam met die rekenkundige gemiddelde nie, maar ook met die mediaan en modus;

- dit is asimptoties aan die x -as aan elke kant;

- dit verminder vir xμ;

- dit het twee buigpunte in x = μ-σ;

- die oppervlakte onder die kromme is 1 eenheid (dit is die waarskynlikheid dat enige x sal verifieer)

σ is die standaardafwyking, hoe groter die getal hoe groter die Gauss -basis (eerste prentjie). As 'n waarde in die 3σ gedeelte is, sou ons weet dat dit regtig wegbeweeg van die gemiddelde en dat die kans minder waarskynlik is.

In ons geval, met LED's, ken ons die oppervlakte van die Gaussiaan, wat die ligstroom is in die datablad van die vervaardiger by 'n gegewe golflengtepiek (wat die gemiddelde is).

Stap 4: Demonstrasie met Geogebra

In hierdie afdeling sal ek u vertel hoe u Geogebra kan gebruik om aan te toon dat 'n parabool 2,19 keer die Gauss is.

Eerstens moet u 'n paar veranderlikes skep deur op die skuifbalkopdrag te klik:

Die standaardafwyking σ = 0,1 (die standaardafwyking definieer hoe breed die Gauss -kromme is, ek het 'n klein waarde geplaas omdat ek dit wou beperk om 'n LED -spektrale kragverspreiding na te boots)

Die gemiddelde is 0, dus is die Gaussiaan op die y -as gebou, waar dit makliker is om te werk.

Klik op die klein golffunksie om die funksie -afdeling te aktiveer; deur op fx te klik, kan u die Gaussiese formule invoeg, en u sien 'n mooi lang Gaussiese kurwe op die skerm verskyn.

Grafies sal jy sien waar die kromme op die x-as konvergeer, in my geval in X1 (-0,4; 0) en X2 (+0,4; 0) en waar die hoekpunt in V (0; 4) is.

Met hierdie drie punt het u genoeg inligting om die vergelyking van die parabool te vind. As u nie met die hand wil bereken nie, gebruik hierdie webwerf of die sigblad in die volgende stap.

Gebruik die funksieopdrag (fx) om die paraboolfunksie in te vul wat u so pas gevind het:

y = -25x^2 +4

Nou moet ons verstaan hoeveel Gaussers in 'n parabool is.

U moet die funksieopdrag gebruik en die opdrag Integral invoeg (of Integrale in my geval, soos ek die Italiaanse weergawe gebruik het). Die definitiewe integraal is die wiskundige bewerking wat ons in staat stel om die oppervlakte van 'n funksie tussen x waardes te bereken. As u nie onthou wat 'n definitiewe integraal is nie, lees hier.

a = Integraal (f, -0,4, +0,4)

Hierdie Geogebra -formule sal die gedefinieerde integrale tussen -0.4 en +0.4 van die funksie f, die Gaussiaan, oplos. Aangesien ons met 'n Gaussiaan te doen het, is die oppervlakte daarvan 1.

Doen dieselfde met die parabool en u sal die towergetal 2.13 ontdek. Dit is die sleutel nommer om al die ligstroomstrome om te skakel met LED's.

Stap 5: Voorbeeld van die werklike lewe met LED's: Berekening van die flukspiek en die oorvleuelende fluks

LIGTIGE Vloed by die piek

Dit is baie maklik om die werklike hoogte van die geroerde Gauss -krommes van die LED -vloeiverspreiding te bereken, noudat ons die omskakelingsfaktor 2.19 ontdek het.

byvoorbeeld:

BLOU LED het 'n 11lm ligstroom

- ons verander hierdie vloed van Gaussiaans na paraboliese 11 x 2.19 = 24.09

- ons gebruik die Archimedes -stelling om die relatiewe reghoekoppervlak wat die parabool bevat, te bereken 24.09 x 3/2 = 36.14

- ons vind die hoogte van die reghoek wat verdeel vir die basis van die Gaussiaan vir die BLOU LED, gegee in die datablad of op die databladkaart, gewoonlik ongeveer 66 nm, en dit is ons krag op die hoogtepunt van 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

OORLAPPENDE LIGTIGE VLOOPSGEBIEDE

Om twee oorvleuelende straling te bereken, verduidelik ek met 'n voorbeeld met die volgende twee LED's:

BLOU is op 480nm en het 11lm ligstroom GREEN is op 530nm en het 35lm ligstroom

Ons weet en ons sien uit die grafiek dat beide Gauss -krommes bymekaarkom in -33nm en +33nm, gevolglik weet ons dat:

- BLOU sny die x -as in 447 nm en 531 nm

- GROEN sny die x -as in 497nm en 563nm

Ons sien duidelik dat die twee krommes mekaar sny, aangesien die een einde van die eerste een na die begin van die ander is (531nm> 497nm), sodat die lig van hierdie twee LED's op sommige punte oorvleuel.

Ons moet eerstens die paraboolvergelyking vir beide bereken. Die aangehegte sigblad is daar om u te help met berekeninge, en het die formules ingebed om die stelsel van vergelykings op te los om die twee parabolas te bepaal, wat die x -as -snypunte en die hoekpunt ken:

BLOU parabool: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

GROEN parabool: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

in albei gevalle a> 0 en dus wys die parabool korrek onderstebo.

Om te bewys dat hierdie parabolas reg is, vul slegs a, b, c in die hoekpuntrekenaar op hierdie paraboolrekenaarwebwerf in.

Op die sigblad is al die berekeninge gemaak om die snypunte tussen die parabolas te vind en om die definitiewe integraal te bereken om die snyareas van die parabolas te kry.

In ons geval is die snyareas van blou en groen LED -spektra 0,4247.

Sodra ons die kruisende parabolas het, kan ons hierdie nuutgestigte snygebied vermenigvuldig vir die Gauss -vermenigvuldiger 0.4694 en 'n baie nabye benadering vind van die hoeveelheid krag wat die LED's in totaal in die gedeelte van die spektrum uitstraal. Om die enkele LED -flux wat in daardie afdeling uitgestraal word, te vind, deel net met 2.

Stap 6: Die studie van die monochromatiese LED's van die eksperimentele lamp is nou voltooi

Baie dankie dat u hierdie navorsing gelees het. Ek hoop dat dit vir u nuttig sal wees om diep te verstaan hoe lig uit 'n lamp uitgestraal word.

Ek bestudeer die vloei van die LED's van 'n spesiale lamp, gemaak met drie soorte monochromatiese LED's.

Die "bestanddele" om hierdie lamp te maak is:

- 3 LED BLU

- 4 LED GROEN

- 3 LED ROOI

- 3 weerstande om die stroom in die LED -kringtakke te beperk

- 12V 35W kragtoevoer

- In reliëf gemaakte akrielbedekking

- OSRAM OT BLE DIM -beheer (Bluetooth LED -beheereenheid)

- Aluminium koellichaam

- M5 vetdruk en neute en L -hakies

Beheer alles met die Casambi APP vanaf u slimfoon, u kan elke LED -kanaal afsonderlik aanskakel en dim.

Die bou van die lamp is baie eenvoudig:

- plak die LED met dubbelzijdige kleefband op die heatsink;

- soldeer al die BLU LED in serie met 'n weerstand, en doen dieselfde met die ander kleur vir elke tak van die kring. Volgens die LED's wat u sal kies (ek het Lumileds LED gebruik), moet u die weerstandsgrootte kies in verhouding tot die hoeveelheid stroom wat u in die LED sal invoer en die totale spanning wat deur die 12V -kragtoevoer gegee word. As u nie weet hoe u dit moet doen nie, stel ek voor dat u hierdie wonderlike instruksie lees om die grootte van 'n weerstand te bepaal om die stroom van 'n reeks LED's te beperk.

-verbind die drade met elke kanaal van die Osram OT BLE: die belangrikste positiewe van die takke van die LED's gaan na die gewone (+) en die drie negatiewe van die takke gaan na -B (blou) -G (groen) -R (rooi).

- Sluit die kragtoevoer aan op die ingang van die Osram OT BLE.

Wat nou lekker is van die Osram OT BLE, is dat u scenario's kan skep en die LED -kanale kan programmeer, soos u kan sien in die eerste deel van die video, ek verduister die drie kanale en in die tweede deel van die video gebruik ek 'n paar voorafgemaakte lig scenario's.

GEVOLGTREKKINGS

Ek het wiskunde wyd gebruik om diep te verstaan hoe die vloed van hierdie lampe sou voortplant.

Ek hoop regtig dat u vandag iets nuttigs geleer het, en ek sal my bes doen om meer insiggewende gevalle van diepgaande toegepaste navorsing soos hierdie na te lei.

Navorsing is die sleutel!

So lank!

Pietro